code based cryptography
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Goppa编码
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加密兼纠错
C = u*G， G 为 k x n 生成矩阵，将k长的u转换为n长的C
奇偶校验矩阵 H，满足 G*H' = 0 ，其中H'为H的转置
.. math::
c = mG + e，e为random t-error vector
s = cH' = mGH' + eH' = eH'
逆推可求得e
再 c - e，解得m
McEliece
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公钥为Goppa码的生成矩阵G1
私钥为t-bounnded decoder，记为p(x)
加密： y = xG1 + e，e为汉明weight <= t的随机项
解密： p(y)G'，其中G1*G' = 1
细节：
k -> n ，原文编码到目标空间
G1 = SGP , S 为k x k 可逆, G 为 k x n 不可约生成矩阵，P 为 n x n 置换
公钥为G1
y = xSGP + e
解密： :math:`y_1 = yP^(-1) = xSG + eP^(-1)`
由于 :math:`eP^(-1)` 的汉明weight = t，因此，可消解求得 xS
再乘以 :math:`S^(-1)` ，恢复x
Niederreiter
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公钥为奇偶校验矩阵H
私钥为t-bounnded H-syndrome decode，记为p(x)
加密： eH'，其中H'为H的转置
解密：p(y) = p(eH') = e
参考资料
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- `Toward Practical Code-Based Cryptography `_
- `Goppa Codes `_
- `Goppa code `_
- `2017 Code-based Cryptography `_
- `2016 Code-Based Cryptography `_
- `A Course in Cryptography `_
- `应用编码与计算机密码学 `_